Question

[trần xuân bình]

Cho ta,  ABC AB AC ( ) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O . Ba đường cao AD , BE , CF của ABC cắt nhau tại H  a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp và góc AFE= góc ACB b) Đường thẳng EF cắt các cung nhỏ AB AC , của đường tròn tâm O lần lượt tại I K, . Chứng minh IK song song với tiếp tuyến tại A của (O) và  AK2 = AE AC . c) Vẽ đường kính AM của đường tròn tâm O , P là giao điểm của MK và BC . Chứng minh AP vuông góc với HK .  

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180^0\)

mà \(\widehat{BFE}+\widehat{AFE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

b: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\left(=180^0-\widehat{FEC}\right)\)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)

=>FE//Ax

=>IK//Ax

Xét (O) có

\(\widehat{xAK}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AK

\(\widehat{AIK}\) là góc nội tiếp chắn cung AK

Do đó: \(\widehat{xAK}=\widehat{AIK}\)

mà \(\widehat{xAK}=\widehat{AKI}\)(IK//Ax)

nên \(\widehat{AIK}=\widehat{AKI}\)

=>\(sđ\stackrel\frown{AK}=sđ\stackrel\frown{AI}\)

Xét (O) có

\(\widehat{ACK}\) là góc nội tiếp chắn cung AK

\(\widehat{AKI}\) là góc nội tiếp chắn cung AI

\(sđ\stackrel\frown{AK}=sđ\stackrel\frown{AI}\)

Do đó: \(\widehat{ACK}=\widehat{AKI}\)

Xét ΔACK và ΔAKE có

\(\widehat{ACK}=\widehat{AKE}\)

\(\widehat{CAK}\) chung

Do đó ΔACK~ΔAKE

=>\(\dfrac{AC}{AK}=\dfrac{AK}{AE}\)

=>\(AK^2=AC\cdot AE\)